日期:2023-02-19 02:57:21 来源:质子教授
如果你学过量子物理学或者听说过薛定谔的猫,那你就一定知道有个叫薛定谔的男人。他假设的薛定谔方程也是量子力学中最有用的方程之一。
(资料图)
乍一看,方程式似乎无法求解(在某些情况下确实如此),但在阅读完本文后,您将理解它的含义,甚至了解如何在一些情况下求解它。
我知道上面一堆符号看起来很可怕,里面甚至还有像鱼叉一样的东西。所以我们首先先从量子力学中的能量开始,将它们推广到算子,然后再讨论波函数的作用。最后,我们将把这些东西拼接在一起并求解方程式。
经典力学
在经典力学(和量子力学)中,能量公式为 E = KE + PE,其中E是总能量,KE是动能,PE 是势能。现在KE和PE写起来有点长,所以为了节省几毫秒的写法,物理学家用明显的T和V符号分别表示动能和势能。所以现在我们有 E = T + V
(如果你学习过经典力学,你可能会注意到我使用的是哈密顿公式)
现在我们知道 T=p²/2m(动能公式)。这里,m=质量,p=动量,½=一半。质量总是恒定的,但动量不一定是。如果有人对一个物体施加力,动量就会开始改变并偏离它的原始值。那么势能呢?
势能的公式是 V= -(F 的积分),其中 F 是力。很明显,势能取决于施加在物体上的力。在不同的情况下,由于存在不同的力,所以势能可能具有不同的值。例如,在引力井中,势能为 V=mgx,但在谐振子中,势能变为 V=(1/2)kx²。
第一次量化
现在在量子力学中,我们采用我们的“可观察量”(T 和 E)并使它们具有运算符同行。就我们而言,运算符只是一个接受一个值并吐出另一个值的函数。所以 T 有对应的动能算子,通常用 T" 表示,而能量有对应的能量算子,通常用 H 表示。势能是“给定的”而不是求出的。现在动能算子被定义为当它作用于波函数时,它返回粒子的动能乘以波函数的算子。整件事可能看起来有点无用和抽象,但请继续往下看下去。
还记得 T=(1/2m)p² 是怎么来的吗?这意味着 T" = (1/2m)p̂²,其中 p̂ 是动量算子。和之前一样,p̂ ψ = p ψ其中 p 是粒子的动量(同样,运算符作用于函数并返回函数乘以与运算符相关的任何值)。现在证明动量算子是
p̂ = -ih(d/dx)。现在把它当作一个给定的。这意味着
T" = -h²/2m (d²/dx²)。由于 E = T + V,则 H=(-h²/2m)(d²/dx²) + V。然后我们现在可以将两边乘以波函数得到
记住之前的 H ψ = E ψ,所以
上面做了很多数学运算,希望您没有头晕。因为我们刚刚“导出”了薛定谔方程!现在在我们谈论解决它之前,我们需要谈谈这个“波函数”到底是什么。
什么是波函数?
在经典力学中,我们使用经典哈密尔顿方程来求解粒子的运动方程。运动方程只是粒子在给定时刻所处位置的方程。例如,自由粒子的运动方程为 x(t)=vt + x0。如果我们有初始位置和速度,我们可以及时找到粒子在任何时刻的位置。在量子力学中,我们使用薛定谔方程来寻找一种叫做“波函数”的东西。
波函数本身在物理上没有意义,或者直接说它没有任何意义,因为他不会(直接)告诉你任何信息。而有意义的是波函数的平方,它给你概率密度.。概率密度只是一个函数,告诉您在测量时找到某个范围内的粒子的机会。所以我们可以说波函数只是概率密度的“平方根”。现在我们终于有了足够的背景知识来解决薛定谔方程了。
从上面的等式可以看出,除了势能 V(x) 之外,一切都是常数。我们采用特定的势能,并针对具有该特定势能的情况求解方程。因此,您只需要知道势能函数就可以求解方程
计算过程
(不喜欢微积分的可以跳过这部分)
现在,让我们求解一个简单势能的薛定谔方程,其中 V(x)=0。这被称为自由粒子,因为作用在它上面的合力为零。在经典情况下,运动方程为 x(t)=vt + x0,它在时空图上形成一条直线。让我们看看量子情况下的波函数是什么样的。
由于 V(x)=0,则薛定谔方程变为
-h²/2m(d²ψ /dx²) = Eψ
然后我们可以做一些重新排列并得到
d² ψ/dx² = -2mEψ/h²
我们现在可以看到,除 ψ 外,右侧的所有项都是常数。这 很好,因为它使方程式易于求解。然后我们可以定义一个常数 k 为 sqrt(2mE/h),这意味着我们现在有
d²ψ / dx² = -k²ψ
然后我们在等式两边加上右边的项
d²ψ/dx² + k²ψ = 0
然后我们假设ψ(x) = exp(rx)
从中我们得到
r=-k², r= +ik 或 -ik
这意味着ψ( x)=exp(ikx) 或
ψ( x)=exp(-ikx)
由于方程是线性的,我们可以将两部分叠加(线性组合)得到通解
ψ(x) = Aexp(ikx) + Bexp(-ikx)
您可能想知道我们如何才能确定常量 A 和 B。我们通常会通过称为归一化的方法来做到这一点。事实证明,对于这种情况无法规范化。当你去无穷大或负无穷大时,波函数不会接近零。那么对于这个状态对应的A和B值是多少呢?事实证明,这实际上不是一种可能的状态,因为您无法将其标准化。
但也不要担心,事实证明,所有可能的波函数的叠加可以产生真实状态。这意味着他可以带来很多有趣的东西
标签: 薛定谔方程
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