如果你学过量子物理学或者听说过薛定谔的猫，那你就一定知道有个叫薛定谔的男人。他假设的薛定谔方程也是量子力学中最有用的方程之一。

(资料图)

乍一看，方程式似乎无法求解（在某些情况下确实如此），但在阅读完本文后，您将理解它的含义，甚至了解如何在一些情况下求解它。

我知道上面一堆符号看起来很可怕，里面甚至还有像鱼叉一样的东西。所以我们首先先从量子力学中的能量开始，将它们推广到算子，然后再讨论波函数的作用。最后，我们将把这些东西拼接在一起并求解方程式。

经典力学

在经典力学（和量子力学）中，能量公式为 E = KE + PE，其中E是总能量，KE是动能，PE 是势能。现在KE和PE写起来有点长，所以为了节省几毫秒的写法，物理学家用明显的T和V符号分别表示动能和势能。所以现在我们有 E = T + V

（如果你学习过经典力学，你可能会注意到我使用的是哈密顿公式）

现在我们知道 T=p²/2m（动能公式）。这里，m=质量，p=动量，½=一半。质量总是恒定的，但动量不一定是。如果有人对一个物体施加力，动量就会开始改变并偏离它的原始值。那么势能呢？

势能的公式是 V= -（F 的积分），其中 F 是力。很明显，势能取决于施加在物体上的力。在不同的情况下，由于存在不同的力，所以势能可能具有不同的值。例如，在引力井中，势能为 V=mgx，但在谐振子中，势能变为 V=(1/2)kx²。

第一次量化

现在在量子力学中，我们采用我们的“可观察量”（T 和 E）并使它们具有运算符同行。就我们而言，运算符只是一个接受一个值并吐出另一个值的函数。所以 T 有对应的动能算子，通常用 T" 表示，而能量有对应的能量算子，通常用 H 表示。势能是“给定的”而不是求出的。现在动能算子被定义为当它作用于波函数时，它返回粒子的动能乘以波函数的算子。整件事可能看起来有点无用和抽象，但请继续往下看下去。

还记得 T=(1/2m)p² 是怎么来的吗？这意味着 T" = (1/2m)p̂²，其中 p̂ 是动量算子。和之前一样，p̂ ψ = p ψ其中 p 是粒子的动量（同样，运算符作用于函数并返回函数乘以与运算符相关的任何值）。现在证明动量算子是

p̂ = -ih(d/dx)。现在把它当作一个给定的。这意味着

T" = -h²/2m (d²/dx²)。由于 E = T + V，则 H=(-h²/2m)(d²/dx²) + V。然后我们现在可以将两边乘以波函数得到

记住之前的 H ψ = E ψ，所以

上面做了很多数学运算，希望您没有头晕。因为我们刚刚“导出”了薛定谔方程！现在在我们谈论解决它之前，我们需要谈谈这个“波函数”到底是什么。

什么是波函数？

在经典力学中，我们使用经典哈密尔顿方程来求解粒子的运动方程。运动方程只是粒子在给定时刻所处位置的方程。例如，自由粒子的运动方程为 x(t)=vt + x0。如果我们有初始位置和速度，我们可以及时找到粒子在任何时刻的位置。在量子力学中，我们使用薛定谔方程来寻找一种叫做“波函数”的东西。

波函数本身在物理上没有意义，或者直接说它没有任何意义，因为他不会（直接）告诉你任何信息。而有意义的是波函数的平方，它给你概率密度.。概率密度只是一个函数，告诉您在测量时找到某个范围内的粒子的机会。所以我们可以说波函数只是概率密度的“平方根”。现在我们终于有了足够的背景知识来解决薛定谔方程了。

从上面的等式可以看出，除了势能 V(x) 之外，一切都是常数。我们采用特定的势能，并针对具有该特定势能的情况求解方程。因此，您只需要知道势能函数就可以求解方程

计算过程

（不喜欢微积分的可以跳过这部分）

现在，让我们求解一个简单势能的薛定谔方程，其中 V(x)=0。这被称为自由粒子，因为作用在它上面的合力为零。在经典情况下，运动方程为 x(t)=vt + x0，它在时空图上形成一条直线。让我们看看量子情况下的波函数是什么样的。

由于 V(x)=0，则薛定谔方程变为

-h²/2m(d²ψ /dx²) = Eψ

然后我们可以做一些重新排列并得到

d² ψ/dx² = -2mEψ/h²

我们现在可以看到，除 ψ 外，右侧的所有项都是常数。这 很好，因为它使方程式易于求解。然后我们可以定义一个常数 k 为 sqrt(2mE/h)，这意味着我们现在有

d²ψ / dx² = -k²ψ

然后我们在等式两边加上右边的项

d²ψ/dx² + k²ψ = 0

然后我们假设ψ(x) = exp(rx)

从中我们得到

r=-k², r= +ik 或 -ik

这意味着ψ( x)=exp(ikx) 或

ψ( x)=exp(-ikx)

由于方程是线性的，我们可以将两部分叠加（线性组合）得到通解

ψ(x) = Aexp(ikx) + Bexp(-ikx)

您可能想知道我们如何才能确定常量 A 和 B。我们通常会通过称为归一化的方法来做到这一点。事实证明，对于这种情况无法规范化。当你去无穷大或负无穷大时，波函数不会接近零。那么对于这个状态对应的A和B值是多少呢？事实证明，这实际上不是一种可能的状态，因为您无法将其标准化。

但也不要担心，事实证明，所有可能的波函数的叠加可以产生真实状态。这意味着他可以带来很多有趣的东西